# How do you integrate int sqrt(x^2+4x+5) using trig substitutions?

## How do you integrate $\int \sqrt{{x}^{2} + 4 x + 5} \mathrm{dx}$ using trig substitutions?

Sep 5, 2016

$\frac{1}{2} \left[\left(x + 2\right) \sqrt{{x}^{2} + 4 x + 5} + \ln | x + 2 + \sqrt{{x}^{2} + 4 x + 5} |\right] + C$.

#### Explanation:

Let $I = \int \sqrt{{x}^{2} + 4 x + 5} \mathrm{dx}$.

$\sqrt{{x}^{2} + 4 x + 5} = \sqrt{{\left(x + 2\right)}^{2} + 1}$,so, we take the Trigo. Substn.

$x + 2 = \tan y \text{, so that, (1) : } \mathrm{dx} = {\sec}^{2} y \mathrm{dy}$, &

$\left(2\right) : \sqrt{{x}^{2} + 4 x + 5} = \sqrt{{\tan}^{2} y + 1} = \sec y$.

:. I=intsec ysec^2 ydy=intsec^3 ydy=intu*vdy...... [u=sec y, v=sec^2 y]

$= u \int v \mathrm{dy} - \int \left(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}} \cdot \int v \mathrm{dy}\right) \mathrm{dy} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . \left[I B P\right]$

$= \sec y \int {\sec}^{2} y \mathrm{dy} - \int \left\{\sec y \tan y \int {\sec}^{2} y \mathrm{dy}\right\} \mathrm{dy}$

$= \sec y \tan y - \int \left\{\sec y \tan y \tan y\right\} \mathrm{dy}$

$= \sec y \tan y - \int \sec y {\tan}^{2} y \mathrm{dy}$

$= \sec y \tan y - \int \sec y \left({\sec}^{2} y - 1\right) \mathrm{dy}$

$= \sec y \tan y - \int {\sec}^{3} y \mathrm{dy} + \int \sec y \mathrm{dy}$, i.e.,

$I = \sec y \tan y - I + \ln | \sec y + \tan y |$

$\therefore I + I = 2 I = \sec y \tan y + \ln | \sec y + \tan y |$

$\therefore I = \frac{1}{2} \left[\sec y \tan y + \ln | \sec y + \tan y |\right]$

$= \frac{1}{2} \left[\left(x + 2\right) \sqrt{{x}^{2} + 4 x + 5} + \ln | x + 2 + \sqrt{{x}^{2} + 4 x + 5} |\right] + C$.

Enjoy Maths.!