#f(x)=int e^x*cosx*dx#-#int secx*(tanx)^3*dx#+#int sinx*dx#
I initially calculated 3 subintegrals,
#A=int e^x*cosx*dx#
=#e^x*sinx#-#int e^x*sinx*dx#
=#e^x*sinx#-#[e^x*(-cosx)#-#int e^x*(-cosx)*dx#]
=#e^x*sinx#-#[-e^x*cosx#+#int e^x*cosx*dx#]
=#e^x*sinx+e^x*cosx#-#int e^x*cosx*dx#
=#e^x*(sinx+cosx)-A#
Hence,
#2A=e^x*(sinx+cosx)# or #A=(e^x)/2*(sinx+cosx)#
#B=int secx*(tanx)^3*dx#
=#int (tanx)^2*(secx*tanx)*dx#
=#int [(secx)^2-1]*(secx*tanx)*dx#
=#int [(secx)^2*(secx*tanx)*dx#-#int secx*tanx*dx#
=#(secx)^3/3-secx#
#C=int sinx*dx=-cosx+C#
So,
#f(x)=A-B+C#
#=(e^x)/2*(sinx+cosx)+secx-(secx)^3/3-cosx+C#
After imposing #f(pi/6)=1# condition,
#1/2*e^(pi/6)*(sqrt3+1)/2+(2sqrt3)/3-(8sqrt(3))/27-sqrt(3)/2+C=1#
#1/2*e^(pi/6)*(sqrt3+1)/2-(7sqrt(3))/54+C=1#
#C=1+(7sqrt3)/54-1/2*e^(pi/6)*(sqrt3+1)/2#
Thus,
#f(x)=(e^x)/2*(sinx+cosx)+secx-(secx)^3/3-cosx+1+(7sqrt3)/54-1/2*e^(pi/6)*(sqrt3+1)/2#
