#f(x)=int(xe^(2x)+x^3)dx#,
#=intxe^(2x)dx+intx^3dx#,
#=intxe^(2x)dx+x^4/4#,
#=[x*inte^(2x)dx-int(d/dx(x)inte^(2x)dx)dx]+x^4/4...[because, IBP]#,
#=x*e^(2x)/2-int(1*e^(2x)/2)dx+x^4/4#,
# rArr f(x)=(xe^(2x))/2-1/2*e^(2x)/2+x^4/4+C............(ast)#.
To determine #C#, we use the given condition : #f(-3)=1#.
#f(-3)=1, &, (ast) rArr 1=(-3*e^-6)/2-e^-6/4+81/4+C#.
#:. C=7/4(e^-6-11)#.
# rArr f(x)=1/4{(2x-1)e^(2x)+x^4+7(e^-6-11)}#.
Enjoy Maths.!