# What is the implicit derivative of xy+y/sqrt(xy-x) =2 ?

Jul 11, 2018

$y ' = \frac{- y + 2 x \cdot \sqrt{x y - x} + {y}^{2} - 2 x {y}^{2} \cdot \sqrt{x y - x}}{- 2 x - 2 {x}^{2} \sqrt{x y - x} + x y + 2 {x}^{2} y \sqrt{x y - x}}$

#### Explanation:

We have

$y + x y ' + \frac{y ' \sqrt{x y - x} - y \cdot \frac{1}{2} \cdot {\left(x y - x\right)}^{- \frac{1}{2}} \left(y + x y ' - 1\right)}{x y - x} = 0$
multiplying by $\sqrt{x y + x} \cdot \left(x y - x\right)$ we get

$\left(y + x y '\right) \left(x y - x\right) \sqrt{x y - x} + y ' \left(x y - x\right) - \frac{y}{2} \left(y + x y ' - 1\right) = 0$
multiplying by $2$

$2 \left(y + x y '\right) \left(x y - x\right) \sqrt{x y - x} + 2 y ' \left(x y - x\right) - y \left(y + x y ' - 1\right) = 0$
$y ' \left(- 2 x - 2 {x}^{2} \sqrt{x y - x} + x y + 2 {x}^{2} y \sqrt{x y - x}\right) = - y + 2 x \sqrt{x y - x} + {y}^{2} - 2 x {y}^{2} \sqrt{x y - x}$

so we get

$y ' = \frac{- y + 2 x \sqrt{x y - x} + {y}^{2} - 2 x {y}^{2} \sqrt{x y - x}}{- 2 x - 2 {x}^{2} \sqrt{x y - x} + x y + 2 {x}^{2} y \sqrt{x y - x}}$