How do you verify the Identity: #(1+cos x+ sinx)/(1+cos x-sin x)=sec x+tan x#?

2 Answers
Mar 26, 2018

#(1+cosx+ sinx) / (1+cosx-sinx)=secx+tanx | * (1+cosx-sinx)#
#1+cosx+ sinx=(1/cosx+sinx/cosx)* (1+cosx-sinx)#
#=(1+cosx-sinx)/cosx+(1+cosx-sinx)*sinx/cosx#

#(1+cosx-sinx)/cosx=color(blue)(secx+1-tanx)#
#(1+cosx-sinx)*sinx/cosx=color(red)(tanx+sinx-sinxtanx)#

#1+cosx+ sinx=color(blue)(secx+1cancel(-tanx))+color(red)(cancel(tanx)+sinx-sinxtanx)#
#1+cosx+ sinx=secx+1+sinx-sinxtanx|-1-sinx#
#cosx=secx-sinxtanx|*cosx#
#cos^2x=1-sin^2x|+sin^2x#
#cos^2x+sin^2x=1#

Mar 27, 2018

#LHS=(1+cosx+ sinx) / (1+cosx-sinx)#

#=(cosx(1+cosx+ sinx) )/ (cosx(1+cosx-sinx))#

#=(cosx(1+sinx)+ cos^2x) / (cosx(1+cosx-sinx))#

#=(cosx(1+sinx)+ (1-sin^2x) )/ (cosx(1+cosx-sinx))#

#=(cosx(1+sinx)+ (1-sinx)(1+sinx)) / (cosx(1+cosx-sinx))#

#=((1+sinx)(cosx+ 1-sinx)) / (cosx(1+cosx-sinx))#

#=(1+sinx)/cosx#

#=1/cosx+sinx/cosx#

#=secx+tanx=RHS #