For simplicity we take,
#cotx-tanx=cosx/sinx-sinx/cosx#
#color(white)(cotx-tanx)=(cos^2x-sin^2x)/(sinxcosx)#
#color(white)(cotx-tanx)=(cos2x)/(2sinxcosx)xx2#
#color(white)(cotx-tanx)=(2cos2x)/(sin2x)#
#color(white)(cotx-tanx)=2cot2x#
#=>color(red)( 2cot2x=cotx-tanx...to(A)#
Put #x=phi,2phi,4phi # , into #(A)# we get
#color(blue)((i)2cot2phi=cotphi-tanphi#
#color(violet)((ii)2cot4phi=cot2phi-tan2phi#
#color(brown)((iii)2cot8phi=cot4phi-tan4phi#
We take,
#LHS=tan Ø + 2 tan 2 ø + 4 tan 4 ø + 4color(brown)((2 cot 8
ø)touse(iii)) #
#=tan Ø + 2 tan 2 ø + 4 tan 4 ø + 4(color(brown)(cot4phi-
tan4phi))#
#=tan Ø + 2 tan 2 ø +cancel( 4 tan 4 ø )+4cot4phi-
cancel(4tan4phi)#
#=tan Ø + 2 tan 2 ø + 4 cot 4 ø #
#=tanphi+2tan2phi+2(color(violet)((2cot4phi).....................touse(ii))#
#=tanphi+2tan2phi+2(color(violet)(cot2phi-tan2phi))#
#=tanphi+cancel(2tan2phi)+2cot2phi-cancel(2tan2phi)#
#=tanphi+color(blue)((2cot2phi).........................................touse(i)#
#=tanphi+color(blue)(cotphi-tanphi)#
#=cotphi#
#=RHS#