# How do you solve using gaussian elimination or gauss-jordan elimination,  2x - y + 3z = 24, 2y - z = 14, 7x - 5y = 6?

Sep 1, 2017

The solution is $\left(\begin{matrix}x \\ y \\ z\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}8 \\ 10 \\ 6\end{matrix}\right)$

#### Explanation:

The augmented matrix is

$\left(\begin{matrix}2 & - 1 & 3 & : & 24 \\ 0 & 2 & - 1 & : & 14 \\ 7 & - 5 & 0 & : & 6\end{matrix}\right)$

We can perform the Gauss-Jordan elimination

$R 3 \leftrightarrow R 2$, $\implies$, $\left(\begin{matrix}2 & - 1 & 3 & : & 24 \\ 7 & - 5 & 0 & : & 6 \\ 0 & 2 & - 1 & : & 14\end{matrix}\right)$

$R 2 \leftarrow R 2 - 3 R 1$, $\implies$, $\left(\begin{matrix}2 & - 1 & 3 & : & 24 \\ 1 & - 2 & - 9 & : & - 66 \\ 0 & 2 & - 1 & : & 14\end{matrix}\right)$

$R 2 \leftarrow 2 R 2 - R 1$, $\implies$, $\left(\begin{matrix}2 & - 1 & 3 & : & 24 \\ 0 & - 3 & - 21 & : & - 156 \\ 0 & 2 & - 1 & : & 14\end{matrix}\right)$

$R 3 \leftarrow 3 R 3 + 2 R 2$, $\implies$, $\left(\begin{matrix}2 & - 1 & 3 & : & 24 \\ 0 & - 3 & - 21 & : & - 156 \\ 0 & 0 & - 45 & : & - 270\end{matrix}\right)$

$R 3 \leftarrow \frac{R 3}{- 45}$, $\implies$, $\left(\begin{matrix}2 & - 1 & 3 & : & 24 \\ 0 & - 3 & - 21 & : & - 156 \\ 0 & 0 & 1 & : & 6\end{matrix}\right)$

$R 2 \leftarrow R 2 + 21 R 3$, $\implies$, $\left(\begin{matrix}2 & - 1 & 3 & : & 24 \\ 0 & - 3 & 0 & : & - 30 \\ 0 & 0 & 1 & : & 6\end{matrix}\right)$

$R 2 \leftarrow \frac{R 2}{- 3}$, $\implies$, $\left(\begin{matrix}2 & - 1 & 3 & : & 24 \\ 0 & 1 & 0 & : & 10 \\ 0 & 0 & 1 & : & 6\end{matrix}\right)$

$R 1 \leftarrow R 1 + R 2$, $\implies$, $\left(\begin{matrix}2 & 0 & 3 & : & 34 \\ 0 & 1 & 0 & : & 10 \\ 0 & 0 & 1 & : & 6\end{matrix}\right)$

$R 1 \leftarrow R 1 - 3 R 3$, $\implies$, $\left(\begin{matrix}2 & 0 & 0 & : & 16 \\ 0 & 1 & 0 & : & 10 \\ 0 & 0 & 1 & : & 6\end{matrix}\right)$

$R 1 \leftarrow \frac{R 1}{2}$, $\implies$, $\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & : & 8 \\ 0 & 1 & 0 & : & 10 \\ 0 & 0 & 1 & : & 6\end{matrix}\right)$