# How do you solve using gaussian elimination or gauss-jordan elimination, x_1 +2x_2 − x_3 +3x_4 =2, 2x_1 + x_2 + x_3 +3x_4 =1, 3x_1 +5x_2 − 2x_3 +7x_4 =3, 2x_1 +6x_2 − 4x_3 +9x_4 =8?

Aug 7, 2017

The solutions are ${x}_{4} = 2$, ${x}_{3}$ free, ${x}_{1} = - 2 - {x}_{3} , {x}_{2} = - 1 + {x}_{3}$

#### Explanation:

We perform the Gauss Jordan elimination with the augmented matrix

$\left(\begin{matrix}1 & 2 & - 1 & 3 & : & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 3 & : & 1 \\ 3 & 5 & - 2 & 7 & : & 3 \\ 2 & 6 & - 4 & 9 & : & 8\end{matrix}\right)$

$R 4 \leftarrow R 4 - 2 R 1$, $\implies$ , $\left(\begin{matrix}1 & 2 & - 1 & 3 & : & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 3 & : & 1 \\ 3 & 5 & - 2 & 7 & : & 3 \\ 0 & 2 & - 2 & 3 & : & 4\end{matrix}\right)$

$R 3 \leftarrow R 3 - 3 R 1$, $\implies$ , $\left(\begin{matrix}1 & 2 & - 1 & 3 & : & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 3 & : & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & - 2 & : & - 3 \\ 0 & 2 & - 2 & 3 & : & 4\end{matrix}\right)$

$R 2 \leftarrow R 2 - 2 R 1$, $\implies$ , $\left(\begin{matrix}1 & 2 & - 1 & 3 & : & 2 \\ 0 & - 3 & 3 & - 3 & : & - 3 \\ 0 & - 1 & 1 & - 2 & : & - 3 \\ 0 & 2 & - 2 & 3 & : & 4\end{matrix}\right)$

$R 2 \leftarrow R 1 - R 4$, $\implies$ , $\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & : & - 2 \\ 0 & - 3 & 3 & - 3 & : & - 3 \\ 0 & - 1 & 1 & - 2 & : & - 3 \\ 0 & 2 & - 2 & 3 & : & 4\end{matrix}\right)$

$R 4 \leftarrow R 4 + 2 R 3$, $\implies$ , $\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & : & - 2 \\ 0 & - 3 & 3 & - 3 & : & - 3 \\ 0 & - 1 & 1 & - 2 & : & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & : & - 2\end{matrix}\right)$

$R 4 \leftarrow \frac{R 4}{- 1}$, $\implies$ , $\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & : & - 2 \\ 0 & - 3 & 3 & - 3 & : & - 3 \\ 0 & - 1 & 1 & - 2 & : & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & : & 2\end{matrix}\right)$

$R 2 \leftarrow \frac{R 2}{- 3}$, $\implies$ , $\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & : & - 2 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & : & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & - 2 & : & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & : & 2\end{matrix}\right)$

$R 3 \leftarrow R 3 + R 2$, $\implies$ , $\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & : & - 2 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & : & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & : & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & : & 2\end{matrix}\right)$

$R 3 \leftarrow \frac{R 3}{- 1}$, $\implies$ , $\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & : & - 2 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & : & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & : & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & : & 2\end{matrix}\right)$

$R 4 \leftarrow R 4 - R 3$, $\implies$ , $\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & : & - 2 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & : & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & : & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & : & 0\end{matrix}\right)$

$R 2 \leftarrow R 2 - R 3$, $\implies$ , $\left(\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & : & - 2 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & : & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & : & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & : & 0\end{matrix}\right)$

The solutions are ${x}_{4} = 2$, ${x}_{3}$ free, ${x}_{1} = - 2 - {x}_{3} , {x}_{2} = - 1 + {x}_{3}$