How do you implicitly differentiate #-1=xy^2+2x^2y-e^ycsc(3x/y) #?

1 Answer
Jun 19, 2016

#(dy)/(dx)=-[(3e^y)/ycsc((3x)/y)cot((3x)/y)+y^2+4xy}/(2xy+2x^2-e^ycsc((3x)/y)+(3x)/y^2csc((3x)/y)cot((3x)/y))#

Explanation:

As #-1=xy^2+2x^2y-e^ycsc(3x/y)#, taking differential of each side

#y^2+2xy(dy)/(dx)+4xy+2x^2(dy)/(dx)-(e^y(dy)/(dx)csc((3x)/y)-e^ycsc((3x)/y)cot((3x)/y)(3/y-(3x)/y^2(dy)/(dx)))=0#

or #(2xy+2x^2)(dy)/(dx)-(dy)/(dx)(e^ycsc((3x)/y)-(3x)/y^2csc((3x)/y)cot((3x)/y))+(3e^y)/ycsc((3x)/y)cot((3x)/y)=-y^2-4xy#

or #(2xy+2x^2-e^ycsc((3x)/y)+(3x)/y^2csc((3x)/y)cot((3x)/y))(dy)/(dx)=-[(3e^y)/ycsc((3x)/y)cot((3x)/y)+y^2+4xy}#

or #(dy)/(dx)=-[(3e^y)/ycsc((3x)/y)cot((3x)/y)+y^2+4xy}/(2xy+2x^2-e^ycsc((3x)/y)+(3x)/y^2csc((3x)/y)cot((3x)/y))#