# How do you evaluate  e^( ( 13 pi)/4 i) - e^( ( 7 pi)/6 i) using trigonometric functions?

Feb 17, 2018

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad {e}^{\frac{13 \setminus \pi}{4} i} - {e}^{\frac{7 \setminus \pi}{6} i} \setminus = \setminus - \frac{1}{2} \left(\left[\sqrt{2} + \setminus \sqrt{3}\right] - \left[\setminus \sqrt{2} + 1\right] i\right) .$

#### Explanation:

$\text{Recall the definition of the complex exponential:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad {e}^{i \setminus \theta} \setminus = \setminus \cos \left(\setminus \theta\right) + i \sin \left(\setminus \theta\right) .$

$\text{Using this with the given expression, we have:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad {e}^{\frac{13 \setminus \pi}{4} i} - {e}^{\frac{7 \setminus \pi}{6} i} \setminus =$

$\left[\cos \left(\frac{13 \setminus \pi}{4}\right) + \sin \left(\frac{13 \setminus \pi}{4}\right) i\right] - \left[\cos \left(\frac{7 \setminus \pi}{6}\right) + \sin \left(\frac{7 \setminus \pi}{6}\right) i\right] \setminus =$

$\left[\cos \left(\frac{13 \setminus \pi}{4}\right) + \cos \left(\frac{7 \setminus \pi}{6}\right)\right] - \left[\sin \left(\frac{13 \setminus \pi}{4}\right) + \sin \left(\frac{7 \setminus \pi}{6}\right)\right] i .$

$\therefore \setminus q \quad \setminus \setminus {e}^{\frac{13 \setminus \pi}{4} i} - {e}^{\frac{7 \setminus \pi}{6} i} \setminus =$

$\left[\cos \left(\frac{13 \setminus \pi}{4}\right) + \cos \left(\frac{7 \setminus \pi}{6}\right)\right] - \left[\sin \left(\frac{13 \setminus \pi}{4}\right) + \sin \left(\frac{7 \setminus \pi}{6}\right)\right] i . \setminus \quad \setminus \left(1\right)$

$\text{Now we must calculate the trig values in the above:}$

 \qquad \ cos( {13\pi}/4 ), \qquad sin( {13\pi}/4 ); \qquad cos( {7\pi}/6 ), qquad sin( {7\pi}/6 ). \qquad \ (2)

$\text{For the first two trig values we note:}$

$\cos \left(\frac{13 \setminus \pi}{4}\right) \setminus = \setminus \cos \left(\frac{13}{4} \setminus \pi\right) \setminus = \setminus \cos \left(\left[3 \frac{1}{4}\right] \setminus \pi\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \cos \left(\left[2 + 1 \frac{1}{4}\right] \setminus \pi\right) \setminus = \setminus \cos \left(2 \setminus \pi + \left[1 \frac{1}{4}\right] \setminus \pi\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \cos \left(\left[1 \frac{1}{4}\right] \setminus \pi\right) \setminus = \setminus \cos \left(\setminus \pi + \frac{1}{4} \setminus \pi\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus - \cos \left(\frac{1}{4} \setminus \pi\right) , \setminus q \quad \setminus q \quad \text{as" \quad \pi + 1/4 \pi \ \in \ "Quadrant III}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus - \cos \left({45}^{\circ}\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus - \setminus \frac{\sqrt{2}}{2} , \setminus q \quad \setminus \quad \text{remembering the 45-45-90 right triangle.}$

$\text{Similarly, proceeding with" \quad sin( {13\pi}/4 ), "we summarize:}$

$\sin \left(\frac{13 \setminus \pi}{4}\right) \setminus = \setminus \sin \left(\setminus \pi + \frac{1}{4} \setminus \pi\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus - \sin \left(\frac{1}{4} \setminus \pi\right) , \setminus q \quad \setminus q \quad \text{as" \quad \pi + 1/4 \pi \ \in \ "Quadrant III}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus - \sin \left({45}^{\circ}\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus - \setminus \frac{\sqrt{2}}{2} , \setminus q \quad \setminus \quad \text{remembering the 45-45-90 right triangle.}$

$\text{So we have:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \cos \left(\frac{13 \setminus \pi}{4}\right) \setminus = \setminus - \setminus \frac{\sqrt{2}}{2} , \setminus q \quad \setminus q \quad \sin \left(\frac{13 \setminus \pi}{4}\right) \setminus = \setminus - \setminus \frac{\sqrt{2}}{2.} \setminus \quad \left(3\right)$

$\text{Now, for the last two trig values in line (2) we note:}$

$\cos \left(\frac{7 \setminus \pi}{6}\right) \setminus = \setminus \cos \left(\frac{7}{6} \setminus \pi\right) \setminus = \setminus \cos \left(\left[1 \frac{1}{6}\right] \setminus \pi\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus \cos \left(\left[1 + \frac{1}{6}\right] \setminus \pi\right) \setminus = \setminus \cos \left(\setminus \pi + \frac{1}{6} \setminus \pi\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus - \cos \left(\frac{1}{6} \setminus \pi\right) , \setminus q \quad \setminus q \quad \text{as" \quad \pi + 1/6 \pi \ \in \ "Quadrant III}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus - \cos \left({30}^{\circ}\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus - \setminus \frac{\sqrt{3}}{2} , \setminus q \quad \setminus \quad \text{remembering the 30-60-90 right triangle.}$

$\text{Similarly, proceeding with" \quad sin( 1/6 \pi ), "we summarize:}$

$\sin \left(\frac{7}{6} \setminus \pi\right) \setminus = \setminus \sin \left(\setminus \pi + \frac{1}{6} \setminus \pi\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus - \sin \left(\frac{1}{6} \setminus \pi\right) , \setminus q \quad \setminus q \quad \text{as" \quad \pi + 1/6 \pi \ \in \ "Quadrant III}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus - \sin \left({30}^{\circ}\right)$

$\setminus q \quad \setminus q \quad = \setminus - \frac{1}{2} , \setminus q \quad \setminus \quad \setminus \setminus \setminus \text{remembering the 30-60-90 right triangle.}$

$\text{So we have:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \quad \cos \left(\frac{7 \setminus \pi}{6}\right) \setminus = \setminus - \setminus \frac{\sqrt{3}}{2} , \setminus q \quad \setminus q \quad \sin \left(\frac{7 \setminus \pi}{6}\right) \setminus = \setminus - \frac{1}{2.} \setminus q \quad \setminus \quad \left(4\right)$

$\text{So, substituting the trig results we have in eqns. (3) & (4), into}$
$\text{our original eqn. (1), we have now:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad {e}^{\frac{13 \setminus \pi}{4} i} - {e}^{\frac{7 \setminus \pi}{6} i} \setminus =$

$\left[\cos \left(\frac{13 \setminus \pi}{4}\right) + \cos \left(\frac{7 \setminus \pi}{6}\right)\right] - \left[\sin \left(\frac{13 \setminus \pi}{4}\right) + \sin \left(\frac{7 \setminus \pi}{6}\right)\right] i \setminus =$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \left[- \frac{\sqrt{2}}{2} - \setminus \frac{\sqrt{3}}{2}\right] - \left[- \setminus \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}\right] i \setminus =$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad - \frac{1}{2} \left(\left[\sqrt{2} + \setminus \sqrt{3}\right] - \left[\setminus \sqrt{2} + 1\right] i\right) .$

$\text{This is our answer.}$

$\text{So, summarizing:}$

$\setminus q \quad \setminus q \quad \setminus q \quad \setminus \setminus {e}^{\frac{13 \setminus \pi}{4} i} - {e}^{\frac{7 \setminus \pi}{6} i} \setminus = \setminus - \frac{1}{2} \left(\left[\sqrt{2} + \setminus \sqrt{3}\right] - \left[\setminus \sqrt{2} + 1\right] i\right) . \setminus q \quad \setminus \setminus \square$